Mahler-Volumen

In der Konvexgeometrie ist das Mahler-Volumen eines punktsymmetrischen konvexen Körpers eine Größe der Dimension Zahl, das abhängig vom Körper aber invariant unter linearen Abbildungen ist. Nach der Blaschke-Santaló-Ungleichung sind die Körper mit dem größtmöglichen Mahler-Volumen Bälle und Ellipsoide. Die bisher unbewiesene Mahler-Vermutung besagt, dass das minimale Mahler-Volumen durch Hyperwürfel angenommen wird. Benannt ist das Mahler-Volumen nach dem britischen Mathematiker deutscher Herkunft Kurt Mahler.

Sei ${\displaystyle E}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Euklidischer Raum und ${\displaystyle \operatorname {vol} (\cdot )}$ das Lebesgue-Maß.

Ein konvexer Körper in ${\displaystyle E}$ ist als kompakte konvexe Menge mit nicht-leerem Inneren definiert. Wenn ${\displaystyle B\subset E}$ ein punktsymmetrischer Körper ist, so ist die polare Menge

${\displaystyle B^{\circ }=\left\{x\in E\mid x\cdot y\leq 1{\text{ }}\forall y\in B\right\}}$

ebenfalls ein punktsymmetrischer Körper in ${\displaystyle E}$.

Das Mahler-Volumen von ${\displaystyle B}$ ist das Produkt

${\displaystyle M(B)=\operatorname {vol} (B)\operatorname {vol} (B^{\circ }).}$^[1]

Ist ${\displaystyle T}$ eine invertierbare lineare Abbildung in ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle T^{*}}$ seine Transponierte, so ist

${\displaystyle (TB)^{\circ }=(T^{-1})^{\ast }B^{\circ }}$

Das Volumen von ${\displaystyle T(B)}$ ist um den Faktor ${\displaystyle \det T}$ von dem Volumen von ${\displaystyle B}$ verschieden; analog unterscheidet sich das Volumen von ${\displaystyle T(B^{\circ })}$ um ${\displaystyle \det(T^{-1})^{\ast }}$ von dem von ${\displaystyle B^{\circ }}$. Weil diese Determinanten Multiplikative Inverse sind, bleibt insgesamt das Mahler-Volumen von B durch lineare Abbildungen erhalten.

Das Innere einer n-Sphäre ist selbst eine Einheitssphäre. Folglich ist das Mahler-Volumen das Quadrat des Volumens

${\displaystyle {\frac {\Gamma (3/2)^{2n}4^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{2}}}}$,

wobei ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion ist. Ellipsoide haben aufgrund affiner Invariant dasselbe Mahler-Volumen.

1. ↑ Terence Tao: Mahler's conjecture for convex bodies. In: Structure and Randomness: Pages from Year One of a Mathematical Blog. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4695-7, S. 216–219 (Online)