Dutta-Ray-Lösung

Die Dutta-Ray-Lösung ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Streben eigennutzenmaximierende Individuen als soziales Ziel die Gleichheit an, so ist die Dutta-Ray-Lösung für kooperative Spiele mit transferierbaren Nutzen geeignet. Jede einzelne Koalition strebt dabei das Prinzip der Gleichheit an.^[1]

Lorenz-Menge

Die Lorenz-Menge wird mittels der (starken) Lorenz-Dominanz definiert. Dabei werden jene Zuteilungsvektoren verglichen, mittels derer die Lorenz-Kurven berechnet werden. In einem balancierten Spiel ${\displaystyle \Gamma ({N},v)}$ ist die Lorenz-Menge definiert als:

${\displaystyle {\displaystyle LM(v)=\left\{x\in C(v)\ |\ \nexists \ y\in C(v):\ y\succ _{Lor}x\right\}}.}$

Die Lorenz-Menge besteht somit aus allen nicht Lorenz-dominierten Kernzuteilungen. Außerdem ist die Lorenz-Menge eine Teilmenge des Kerns.^[2]

Definition Dutta-Ray-Lösung

Für konvexe Spiele ${\displaystyle \Gamma ({N},v)}$ ist die Lorenz-Menge einelementig, d. h. ${\displaystyle |LM(v)|=1}$. Dieses Element wird dann auch Dutta-Ray-Lösung genannt. Die Dutta-Ray-Lösung eines konvexen Spiels ${\displaystyle \Gamma ({N},v)}$ ist gegeben mit:

${\displaystyle {\displaystyle DRL(v)={\underset {x\in C(v)}{\operatorname {arg\,min} }}\,\sum _{i\in N}\left(x_{i}-{\frac {v(N)}{|N|}}\right)^{2}}.}$^[3]

Somit minimiert die Dutta-Ray-Lösung den euklidischen Abstand zwischen der Gleichverteilung und dem Kern.

Beispiele

Beispiel 1

Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels^[4]

${\displaystyle {\displaystyle S}}$	${\displaystyle {\displaystyle \emptyset }}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{B\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{C\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A,B\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A,C\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{B,C\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A,B,C\}}}$
${\displaystyle {\displaystyle v(S)}}$	${\displaystyle {\displaystyle 0}}$	${\displaystyle {\displaystyle 200}}$	${\displaystyle {\displaystyle 200}}$	${\displaystyle {\displaystyle 200}}$	${\displaystyle {\displaystyle 700}}$	${\displaystyle {\displaystyle 500}}$	${\displaystyle {\displaystyle 500}}$	${\displaystyle {\displaystyle 1200}}$

Es handelt sich um ein konvexes Spiel. Ist die Gleichverteilung im Kern des Spieles, so ist es die Dutta-Ray-Lösung. Hier sind die dafür notwendigen Bedingungen mit ${\displaystyle x_{A}=x_{B}=x_{C}=400}$ erfüllt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcc}\displaystyle x_{A},x_{B},x_{C}&\geq &200&\\x_{A}+x_{B}+x_{C}&=&1200&\\x_{A}+x_{B}&\geq &700&\\x_{A}+x_{C}&\geq &500&\\x_{B}+x_{C}&\geq &500&\\\end{array}}}$

Beispiel 2

Betrachtet man nun folgende Koalitionsfunktion mit ebenfalls ${\displaystyle {v(N)}=1200}$:

${\displaystyle {\displaystyle S}}$	${\displaystyle {\displaystyle \emptyset }}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{B\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{C\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A,B\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A,C\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{B,C\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A,B,C\}}}$
${\displaystyle {\displaystyle v(S)}}$	${\displaystyle {\displaystyle 0}}$	${\displaystyle {\displaystyle 100}}$	${\displaystyle {\displaystyle 100}}$	${\displaystyle {\displaystyle 100}}$	${\displaystyle {\displaystyle 900}}$	${\displaystyle {\displaystyle 300}}$	${\displaystyle {\displaystyle 300}}$	${\displaystyle {\displaystyle 1200}}$

So kann festgehalten werden, dass dieses Spiel weiterhin konvex ist. Setzt man wieder die Gleichverteilung mit ${\displaystyle x_{A}=x_{B}=x_{C}=400}$ in die Bedingungen ein:

${\displaystyle {\begin{array}{rcc}\displaystyle x_{A},x_{B},x_{C}&\geq &100&\\x_{A}+x_{B}+x_{C}&=&1200&\\x_{A}+x_{B}&\geq &900&\\x_{A}+x_{C}&\geq &300&\\x_{B}+x_{C}&\geq &300&\\\end{array}}}$

ist die dritte Bedingung verletzt, d. h. die Gleichverteilung liegt nicht im Kern des Spieles. Spieler ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ wollen zusammen mindestens eine Auszahlung von ${\displaystyle 900}$ erhalten. Wird diese Auszahlung hälftig unter den beiden Spielern aufgeteilt ${\displaystyle x_{A}=x_{B}=450}$, dann kann Spieler ${\displaystyle C}$ noch den Rest der Auszahlung der großen Koalition mit ${\displaystyle x_{C}=300}$ (${\displaystyle {v(N)}-x_{A}-x_{B}=1200-450-450=300}$) erhalten. Somit ist eine Verteilung gefunden, die alle Bedingungen erfüllt. Zudem wird damit offensichtlich, dass es sich um die Dutta-Ray-Lösung handelt.

Literatur

• Bhaskar Dutta, Debraj Ray: A concept of egalitarianism under participation constraints. In: Econometrica, Volume 57, Issue 3, 1989, doi:10.2307/1911055, S. 615–635.
• Bhaskar Dutta, Debraj Ray: Constrained Egalitarian Allocations. In: Games and Economic Behavior, Volume 3, Issue 4, 1991, doi:10.1016/0899-8256(91)90012-4, S. 403–422.
• Toru Hokari, Anita van Gellekom: Population monotonicity and consistency in convex games: Some logical relations. In: International Journal of Game Theory, Volume 31, Issue 4, 2002 doi:10.1007/s001820300141, S. 593–607.
• David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.

Einzelnachweise

1. ↑ Vgl. Dutta/Ray 1989, S. 615–617.
2. ↑ Vgl. Müller 2022, S. 522.
3. ↑ Vgl. Hokari/van Gellekom 2002, S. 596; Müller 2022, S. 524.
4. ↑ Vgl. Müller 2022, S. 479.