3j-Symbol

3j-Symbole sind eine Notation zur Kopplung von zwei Drehimpulsen in der Quantenmechanik und wurden von Eugene Wigner eingeführt.^[1][2] Mit ihnen lassen sich Zustände zwischen der gekoppelten und ungekoppelten Basis transformieren. Die 3j-Symbole sind eine Alternative zu den Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Es gibt auch 6j-Symbole nach Wigner entsprechend der Kopplung von drei Drehimpulsen und 9j-Symbole bei Kopplung von vier Drehimpulsen.

Um den Zustand eines aus zwei Bestandteilen mit Drehimpuls ${\displaystyle j_{1}}$ und ${\displaystyle j_{2}}$ bestehenden Gesamtsystems zu schreiben, sind in der Quantenmechanik zwei Orthonormalbasen gebräuchlich, die jeweils Eigenbasis einer vollständigen Menge kommutierender Observablen sind. Zum einen die Eigenbasis der Operatoren der beiden Teilsysteme: das Betragsquadrat der beiden Drehimpulsvektoren ${\displaystyle {\vec {J}}_{i}^{2}}$ und die jeweiligen ${\displaystyle z}$-Komponenten ${\displaystyle J_{i}^{z}}$ (${\displaystyle i=1,2}$); die jeweiligen Eigenwerte werden mit ${\displaystyle j_{i},m_{i}}$ bezeichnet und die entsprechenden Basiszustände werden als ${\displaystyle |j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}\rangle }$ geschrieben. Zum anderen der Drehimpuls des Gesamtsystems, d. h., ${\displaystyle {\vec {J}}^{2}=({\vec {J}}_{1}+{\vec {J}}_{2})^{2}}$ und ${\displaystyle J^{z}=J_{1}^{z}+J_{2}^{z}}$ (die entsprechenden Quantenzahlen werden mit ${\displaystyle j}$ und ${\displaystyle m}$ bezeichnet) zusätzlich zu den Drehimpulsen der Teilsysteme ${\displaystyle {\vec {J}}_{i}^{2}}$ (aber nicht den ${\displaystyle J_{i}^{z}}$); hier schreibt man die Eigenzustände als ${\displaystyle |j_{1},j_{2};jm\rangle }$.

Dann lässt sich die ${\displaystyle j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}}$-Komponente des Zustands ${\displaystyle |j_{1},j_{2};jm\rangle }$ mit dem 3j-Symbol wie folgt schreiben:

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1};j_{2}m_{2}|j_{1}j_{2};jm\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m}{\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&-m\end{pmatrix}}.}$

Die linke Seite der Gleichung wird auch als Clebsch-Gordan-Koeffizient bezeichnet. Verglichen mit diesen ist die Kopplung mit 3j-Symbolen symmetrischer formuliert und die Symmetrieeigenschaften der 3j-Symbole lassen sich daher einfacher formulieren.

Als Funktion der Clebsch-Gordan-Koeffizienten ergibt sich für die 3j-Symbole der folgende Ausdruck:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}$

Dabei stehen j und m für die Drehimpulsquantenzahlen.

Der Addition zweier Drehimpulse mit Clebsch-Gordan-Koeffizienten

${\displaystyle |j_{3}\,m_{3}\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .}$

entspricht bei den 3j-Symbolen die Formulierung als Addition dreier Drehimpulse zu Null:

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .}$

Der Zustand ${\displaystyle |0\,0\rangle }$ entspricht verschwindenden Drehimpulsquantenzahlen(${\displaystyle j=m=0}$). Da die 3j-Symbole alle Drehimpulse auf gleicher Stufe behandeln ist die Formulierung symmetrischer als mit Clebsch-Gordan-Koeffizienten und manifest rotationsinvariant.

Die 3j-Symbole verschwinden außer für:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\},\quad (i=1,2,3).\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2}\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ ist eine ganze Zahl (und sogar gerade falls }}m_{1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}\\\end{aligned}}}$

Das 3j-Symbol ist invariant unter gerader Permutation der Spalten:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Bei ungerader Permutation gibt es einen Phasenfaktor:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}\\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Änderung des Vorzeichens der Quantenzahlen ${\displaystyle m}$ (entsprechend einer Zeitumkehr) gibt ebenfalls einen Phasenfaktor:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Weiter gibt es sogenannte Regge-Symmetrien:^[3]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2}}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.}$

Insgesamt gibt es 72 Symmetrien, die durch ein Regge-Symbol dargestellt werden können:

${\displaystyle R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2}+j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}}}$

Die 72 Symmetrien entsprechen der Vertauschung von Reihen und Spalten untereinander und der Transposition der Matrix.

Die Orthogonalitätsrelationen folgen daraus, dass die 3j-Symbol eine unitäre Transformation der verschiedenen Drehimpulsbasen sind (der Basen zu den Drehimpulsen j1, j2 und der des gekoppelten Systems mit Drehimpuls j3).

${\displaystyle (2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

${\displaystyle \sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

Dabei ist das trianguläre Delta ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}}$ gleich 1 falls die Dreiecksbedingung erfüllt ist und 0 sonst. Die Dreiecksbedingung lautet, dass ${\displaystyle j_{3}}$ einen der Werte ${\displaystyle j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,\cdots ,|j_{1}-j_{2}|}$ annimmt.

Die 3j-Symbole sind das Integral des Produkts von drei Kugelflächenfunktionen:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle l_{1}}$, ${\displaystyle l_{2}}$ and ${\displaystyle l_{3}}$ ganze Zahlen sind.

Analog gilt mit spin-gewichteten Kugelflächenfunktionen und bei halbzahligem Drehimpuls für ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int \mathrm {d} {{\vec {e}}_{n}}\,{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({{\vec {e}}_{n}})\,{}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({{\vec {e}}_{n}})\,{}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}({{\vec {e}}_{n}})\\[8pt]&={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad -{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}\\&={\sqrt {(l_{1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle l_{1}\ll l_{2},l_{3}}$ gilt für ein nicht-verschwindendes 3j-Symbol (A. R. Edmonds):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}}}$

mit ${\displaystyle \cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)}$ und der Wignerschen kleine D-Matrix ${\displaystyle d_{mn}^{l}}$. Eine bessere Näherung, die die Regge-Symmetrie erfüllt, ist:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3}+1}}}}$

mit ${\displaystyle \cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2}+l_{3}+1)}$.

Die folgende Größe spielt die Rolle eines metrischen Tensors in der Theorie und wird auch Wigner 1-jm symbol genannt:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m'}\delta _{m,-m'}}$

Es dient dazu Zeitumkehr bei Drehimpulsen auszudrücken.

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}~\delta _{J,0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}}$

mit der Legendrefunktion ${\displaystyle P_{l}}$.

Die Beziehung zu den Racah-V-Koeffizienten^[4] ist ein einfacher Phasenfaktor:

${\displaystyle V(j_{1}j_{2}j_{3};m_{1}m_{2}m_{3})=(-1)^{j_{1}-j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

• Alan Robert Edmonds: Drehimpulse in der Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbuch 1964 (englisch: Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton UP 1960)
• A. Messiah: Quantenmechanik, Band 2, De Gruyter 1985, Anhang C

• Mathworld, 3j-Symbol
• Anthony Stone, Wigner coefficient calculator
• 369j-Symbol Rechner am Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science (numerische Berechnung)
• Frederik J Simons: Matlab Software, Code THREEJ.M

1. ↑ Wigner: On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of S. R. Groups, in: L. C. Biedenharn, H. van Dam (Hrsg.): Quantum theory of angular momentum, Academic Press 1965, S. 87–133. Wieder abgedruckt in Wigner, Collected Works, Springer, Band 1, 1993, S. 608–654
2. ↑ Wigner: Group Theory and its application to atomic spectra, Academic Press 1959
3. ↑ Tullio Regge, Symmetry Properties of Clebsch-Gordan Coefficients, Nuovo Cimento, Band 10, 1958, S. 544
4. ↑ Racah V-Koeffizient, Mathworld