Ortonormální báze

Ortonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a funkcionální analýzy, označující takovou bázi prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe kolmé a všechny prvky báze jsou jednotkové.

Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory.

Prostor konečné dimenze

Nechť ${\displaystyle V}$ je konečně rozměrný vektorový prostor se skalárním součinem ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ indukující normu ${\displaystyle \|\cdot \|}$. Pod ortonormální bází prostoru ${\displaystyle V}$ pak rozumíme bázi ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}}$:

• ${\displaystyle \|b_{i}\|=1}$ pro ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$,
• ${\displaystyle \langle b_{i},b_{j}\rangle =0}$ pro ${\displaystyle i\neq j}$, kde ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$.

Například následující báze (tzv. kanonická) je ortonormální bází vektorového prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:

${\displaystyle {\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {k}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},}$

neboť každý z těchto vektorů má jednotkovou délku a všechny vzájemně různé vektory jsou na sebe kolmé, protože jejich skalární součin je roven nule.

Základním algoritmem pro získání ortonormální báze z libovolné báze je Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

Obecný případ

V obecném případě unitárního prostoru ${\displaystyle V}$ nekonečné dimenze, nazýváme ortonormálním systémem ${\displaystyle S}$ ve ${\displaystyle V}$ takový systém, jehož lineární obal leží hustě ve ${\displaystyle V}$.

Úplný ortonormální systém ${\displaystyle S}$ má proto tu vlastnost, že pro každý prvek ${\displaystyle v\in V}$ můžeme psát Fourierův rozvoj:

${\displaystyle v=\sum _{u\in S}\langle v,u\rangle u}$.

Je důležité zdůraznit, že ve smyslu tohoto odstavce, v protikladu k případu s konečnou dimenzí, není ortonormální báze žádnou bází v běžném smyslu lineární algebry. To znamená, že prvek ${\displaystyle v}$ nelze obecně zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu bázových vektorů (prvků z ${\displaystyle S}$), ale jen jako sumu počitatelného nekonečného počtu prvků z ${\displaystyle S}$, tedy jako nekonečnou řadu. Jinými slovy: Lineární obal není roven prostoru ${\displaystyle V}$, leží ale hustě v tomto prostoru.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ortonormálna báza na slovenské Wikipedii.