Homotopie

Homotopie je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie.

Motivace

Homotopie umožňuje postihnout některé topologické vlastnosti topologických prostorů a zachycuje v rámci matematiky představu spojité deformace prostorů a zobrazení.

Definice

Nechť ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ jsou topologické prostory a ${\displaystyle f:X\to Y,g:X\to Y}$ spojitá zobrazení mezi nimi. Homotopie mezi ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle g}$ je spojité zobrazení ${\displaystyle H:[0,1]\times X\to Y}$ takové, že a ${\displaystyle H(0,x)=f(x)}$ a ${\displaystyle H(1,x)=g(x)}$ pro každé ${\displaystyle x\in X}$, kde uvažujeme ${\displaystyle [0,1]}$ s topologií danou inkluzí ${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$ do ${\displaystyle \mathbb {R} }$ s metrickou topologií a na ${\displaystyle [0,1]\times X}$ uvažujeme součinovou topologii.

Pokud existuje homotopie mezi ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle g,}$ řekneme, že ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle g}$ jsou homotopická a píšeme ${\displaystyle f\simeq g.}$

Topologické prostory ${\displaystyle X,Y}$ nazveme homotopické, pokud existují spojitá zobrazení ${\displaystyle f:X\to Y}$ a ${\displaystyle g:Y\to X}$, že ${\displaystyle f\circ g}$ je homotopické ${\displaystyle id_{Y}}$ a ${\displaystyle g\circ f}$ je homotopické ${\displaystyle id_{X}}$.

Topologicky prostor ${\displaystyle X}$ nazveme kontraktibilní (stažitelný), pokud je homotopický jednoprvkovému topologickému prostoru (bodu).

Příklady

1. Snadno se ověří, že každé dvě uzavřené křivky ${\displaystyle a,b:[0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$ v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ jsou homotopické. Homotopií je např. ${\displaystyle H:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$ dané formuli ${\displaystyle H(s,t):=(1-t)f(s)+tg(s),t,s\in [0,1].}$

2. Těžší je ověřit, že kružnice ${\displaystyle a(s):=(\cos s,\sin s)}$ a kružnice ${\displaystyle b(s):=(2+\cos s,\sin s),s\in [0,2\pi ]}$ v prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{(0,0)\}}$ nejsou homotopické. Neformálně lze říci, že první kružnici nelze zdeformovat na druhou, aniž bychom s první přešli počátek, jenž do uvažovaného topologického prostou nepatří.

3. Topologický prostor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ je kontraktibilní.

4. Ani malá, ani velká kružnice na toru nejsou kontraktibilní.

Tvrzení

Relace být homotopická resp. být homotopické jsou relacemi ekvivalence na množině všech spojitých zobrazení mezi dvěma topologickými prostory, resp. na množině všech topologických prostorů.

Poznámka

Pojem homotopické grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách a díky snaze klasifikovat jisté třídy topologických prostorů, především tzv. hladkých variet. Pojem homotopie má rozsáhlá zobecnění v (homologické) algebře, teorii deformací, matematické fyzice a částech strunové teorie, obzvláště v teorii tzv. homologické zrcadlité symetrie.

Hladké verze homotopie v kategorii hladkých variet se někdy nazývají izotopie.

Literatura

• HATCHER, Allen. Algebraic topology. [s.l.]: Cambridge University Press, 2002. Dostupné online. ISBN 978-0-521-79540-1. 

Související články

• Homologie (matematika)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu homotopie na Wikimedia Commons