Hmotnostní průtok

Jako hmotnostní průtok ${\displaystyle {\dot {m}}}$ se označuje hmotnost ${\displaystyle m}$ tekutiny (kapaliny nebo plynu), která za jednotku času projde průtočným průřezem v určitém systému. Ve starší literatuře se lze setkat i s termínem průtočná hmota^[1][2], v angličtině se tato veličina nazývá mass flow rate a v němčině Massenstrom nebo Massendurchsatz.

V úzké proudové trubici lze předpokládat, že všechny částice tekutiny mají stejnou rychlost ${\displaystyle v}$, která je kolmá na průřez ${\displaystyle A}$. Za čas ${\displaystyle dt}$ tedy průřezem ${\displaystyle A}$ proteče tekutina objemu ${\displaystyle dV}$, pro který platí:

${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A}$·${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A}$·${\displaystyle v}$·${\displaystyle dt}$

Objem ${\displaystyle dV}$ obsahuje tekutinu o hmotnosti ${\displaystyle dm}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \rho }$·${\displaystyle dV}$, kde ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle m/V}$ je hustota dané tekutiny^[3]. Pro hmotnostní průtok tedy dostáváme

${\displaystyle {\dot {m}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {dm \over dt}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \rho }$·${\displaystyle {dV \over dt}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \rho }$·${\displaystyle A}$·${\displaystyle v}$.

Při označení hmotnostního průtoku symbolem ${\displaystyle {\dot {m}}}$ je použita Newtonova notace, podle níž tečka nad ${\displaystyle m}$ znamená derivaci podle času^[4]. V technické literatuře se lze často setkat i se symbolem ${\displaystyle Q}$, kterým se obecně označuje průtočné množství. Pak je ovšem třeba pomocí dalších indexů rozlišovat mezi průtokem objemovým

${\displaystyle Q_{V}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {dV \over dt}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ a průtokem hmotnostním

${\displaystyle Q_{m}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {dm \over dt}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\dot {m}}}$.

Objemový průtok lze pomocí vztahu ${\displaystyle {\dot {m}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \rho }$·${\displaystyle {\dot {V}}}$ snadno přepočítat na průtok hmotnostní a naopak^[5]. Jednotkou hmotnostního průtoku v soustavě SI je kg·s⁻¹. V praxi se lze setkat i s jinými jednotkami, jak metrickými, tak anglosaskými^[6].

Jelikož hmotnost ${\displaystyle m}$ je skalární veličina, je skalárem i hmotnostní průtok ${\displaystyle {\dot {m}}}$. V mechanice kontinua je však třeba s některými ze shora uvedených veličin pracovat jako s vektory. Jak průtočný průřez ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$, tak rychlost ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ mají určitou orientaci v prostoru. (V případě vektoru ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ určuje jeho prostorovou orientaci normálový vektor, který je kolmý na průřez ${\displaystyle A}$.) Objemový element ${\displaystyle dV}$ potom určíme pro obecně orientované vektory ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$  a ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ jako

${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$·${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$${\displaystyle {\bigr )}}$·${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A}$·${\displaystyle v}$·${\displaystyle \cos \alpha }$·${\displaystyle dt}$,

kde ${\displaystyle {\bigl (}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$·${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$${\displaystyle {\bigr )}}$ je skalární součin vektorů ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$ a ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ svírajících úhel ${\displaystyle \alpha }$. Pro speciální případ kolineárních vektorů (${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \cos 0}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$) dostaneme výše uvedený výraz ${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A}$·${\displaystyle v}$·${\displaystyle dt}$ platný pro tekutinu procházející kolmo průřezem ${\displaystyle A}$. 

Reference