Operador de projecció

En matemàtiques, un operador de projecció P en un espai vectorial és una transformació lineal idempotent, és a dir, que satisfà la igualtat P 2 = P .

Introducció

Aquestes transformacions projecten qualsevol punt x de l'espai vectorial a un punt del subespai imatge de la transformació. En cas que x pertanyi al subespai imatge, la projecció no té efecte, deixant el punt x fix.[1]

Per exemple, l'operador P definit en R 3 de la manera següent

P ( x y z ) = ( x 0 z ) {\displaystyle P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}}}

és un operador que "projecta" l'espai R 3 sobre l'espai de dimensió 2 que consisteix dels vectors la coordenada y és zero.

Aquesta definició abstracta, de "projector" o "projecció" generalitza la idea gràfica intuïtiva de projecció estenent a qualsevol tipus d'espai vectorial, incloent el cas de dimensió infinita on no és possible una aproximació gràfica.

Projectors ortogonals o autoadjunts

En general, donat un subespai vectorial W d'un espai V , hi ha moltes projeccions sobre V . Si l'espai és un espai de Hilbert i s'exigeix a més que l'operador P sigui un autoadjunts, és a dir

⟨ P x , y ⟩ = ⟨ x , P y ⟩ , x , y ∈ V {\displaystyle \langle Px,y\rangle =\langle x,Py\rangle ,\quad x,y\in V}

llavors la projecció sobre V és única. El terme operador de projecció ortogonal significa operador de projecció autoadjunts .

Dins l'entorn de la física, el terme operador de projecció és sinònim de projecció ortogonal

Referències

  1. ↑ Meyer, pp 386+387

Bibliografia

  • N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory , Interscience, 1958.
  • Carl D. Meyer, Analysis and Applied Linear Algebra[Enllaç no actiu] , Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. ISBN 978-0-89871-454-8.

Enllaços externs

  • MIT Linear Algebra Lecture on Projection Matrius Arxivat 2008-12-20 a Wayback Machine. at Google Video, from MIT OpenCourseWare
  • csjudy/planeview3D/tutorial.html Planar Geometric Projections Tutorial - a primera-to-follow tutorial explaining the different types of planar Geometric Projections.